Warum die Formel funktioniert
(a + b)2 ist die Fläche eines Quadrats mit der Seitenlänge a + b. Dieses Quadrat zerfällt immer in vier Teile – und genau die stehen in der Formel.
Die beiden Rechtecke in der Mitte sind gleich groß. Deshalb steht in der Formel 2ab und nicht nur ab.
Die drei Formeln
Hoch 2 heißt: mal sich selbst. (x + 3y)2 ist also dasselbe wie (x + 3y)(x + 3y). Das kannst du ausrechnen, indem du jeden Teil der ersten Klammer mit jedem Teil der zweiten malnimmst. Das sind vier Rechnungen, und dabei vergisst man leicht eine.
Die binomischen Formeln nehmen dir diese Arbeit ab. Du schaust nur, was bei dir a und was b ist, setzt ein – und hast das Ergebnis. Deshalb lohnt es sich, die drei Muster auswendig zu können.
Später brauchst du sie auch andersherum. Wenn irgendwo x2 + 6xy + 9y2 steht, darfst du dafür einfach (x + 3y)2 schreiben. Aus einem langen Term wird eine kurze Klammer, und damit rechnet es sich viel leichter weiter.
Und wofür brauche ich das im Alltag?
Ehrlich: Beim Einkaufen wirst du nie (x + 3y)2 ausrechnen. Das Muster dahinter begegnet dir aber ständig – nur ohne Buchstaben.
- Rabatt und Aufschlag gleichen sich nicht aus. 20 % runter, danach wieder 20 % rauf – und du bist nicht beim alten Preis, sondern 4 % darunter. Genau das sagt die dritte Formel: (1 − 0,2)(1 + 0,2) = 1 − 0,04. Beim Aktienkurs gilt dasselbe: −10 % und dann +10 % ist nicht null.
- Etwas länger machen heißt viel mehr Fläche. Ein quadratisches Beet von 3 m auf 4 m Seitenlänge vergrößern bringt nicht 1 m² mehr, sondern 7: (3 + 1)2 = 9 + 6 + 1. Deshalb ist eine 32-cm-Pizza fast doppelt so viel Pizza wie eine mit 24 cm – und nicht ein Drittel mehr.
- Kopfrechnen, das nach Zauberei aussieht. 352 = (30 + 5)2 = 900 + 300 + 25 = 1225. Oder 49 · 51 = (50 − 1)(50 + 1) = 2500 − 1 = 2499. Schneller, als jemand das Handy entsperrt.
Der wichtigste Grund ist aber ein anderer: Du übst, in einem Wust von Zeichen ein bekanntes Muster wiederzuerkennen. Das ist die Fähigkeit, um die es in Mathe eigentlich geht – und die brauchst du später in jedem Fach, in dem etwas zu berechnen ist.
Es sind drei Muster. Du erkennst am Vorzeichen in der Klammer, welches passt.
- (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Plus in der Klammer, Plus überall.
- (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 Nur das mittlere Glied wird negativ. b2 bleibt positiv, weil minus mal minus plus ergibt.
- (a + b)(a − b) = a2 − b2 Zwei Klammern, einmal Plus und einmal Minus. Die mittleren Glieder heben sich auf.
Schritt für Schritt: (x + 3y)2
Genau die Aufgabe vom Arbeitsblatt. Denk erst selbst nach, dann klapp den Schritt auf.
-
Formel auswählen
In der Klammer steht ein Plus und die Klammer ist quadriert. Also die erste Formel: (a+b)2 = a2 + 2ab + b2.
-
Finde a und b
Leg die Klammern übereinander und vergleiche Stelle für Stelle.
Auflösen
a = x und b = 3y.
Wichtig: b ist 3y zusammen, nicht nur y. Die Zahl gehört mit dazu.
-
Erstes Glied: a2
Setze x für a ein und quadriere.
Auflösen
x · x = x2
-
Mittleres Glied: 2ab
Das heißt 2 mal a mal b. Erst einsetzen, dann die Zahlen zusammenfassen.
Auflösen
2 · x · 3y — die Zahlen 2 und 3 ergeben 6, die Buchstaben schreibst du dahinter:
6xy
-
Letztes Glied: b2
Hier brauchst du eine Klammer, denn quadriert wird 3y als Ganzes.
Auflösen
(3y)2 = 3y · 3y = 3 · 3 · y · y = 9y2
-
Zusammenschreiben und prüfen
(x + 3y)2 = x2 + 6xy + 9y2
Probe mit Zahlen
Setz einfache Zahlen ein, zum Beispiel x = 1 und y = 1:
Links: (1 + 3)2 = 16 — rechts: 1 + 6 + 9 = 16. Gleich, also stimmt es.
Die häufigste Falle
Fast alle Fehler passieren beim letzten Glied: Die Zahl vor dem Buchstaben wird vergessen.
Was ist (3y)2? Probier es mit y = 2, dann ist 3y = 6 und 62 = 36.
Hier wurde nur das y quadriert.
Die 3 wird mitquadriert: 3 · 3 = 9.
Üben
Trag die Bausteine einzeln ein. Schreibweise wie im Heft: 9y^2 oder 9y², beides wird erkannt.